有限数学示例

$\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} = 16$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} - 16 = 0$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}}$ 重写成 ${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

${(x + 2)}^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

解题步骤 3

将 ${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ 重写为 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 。

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 16 = 0$

解题步骤 4

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4^{2} = 0$

解题步骤 5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $b = 4$ 。

$({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4) ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

解题步骤 7

将 ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = - 4$

解题步骤 7.2.2

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 4)}^{3}$

解题步骤 7.2.3

化简指数。

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解题步骤 7.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.3.1.1

化简 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1

将 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

${(x + 2)}^{1} = {(- 4)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.2

化简。

$x + 2 = {(- 4)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.2.1

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$x + 2 = - 64$

解题步骤 7.2.4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.2.4.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 64 - 2$

解题步骤 7.2.4.2

从 $- 64$ 中减去 $2$ 。

$x = - 66$

解题步骤 8

将 ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 的 ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = 4$

解题步骤 8.2.2

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 4^{3}$

解题步骤 8.2.3

化简指数。

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解题步骤 8.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.3.1.1

化简 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1

将 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

解题步骤 8.2.3.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

解题步骤 8.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

${(x + 2)}^{1} = 4^{3}$

解题步骤 8.2.3.1.1.2

化简。

$x + 2 = 4^{3}$

解题步骤 8.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.2.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$x + 2 = 64$

解题步骤 8.2.4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.2.4.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = 64 - 2$

解题步骤 8.2.4.2

从 $64$ 中减去 $2$ 。

$x = 62$

解题步骤 9

最终解为使 $({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4) ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 66, 62$

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